72. Одна из диагоналей трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием угол 23°. Найдите углы трапеции, если её меньшее основание равно второй боковой стороне.

Обозначим большее основание через \(AB=L\), меньшее — через \(CD=s\). Пусть диагональ \(AC\) перпендикулярна боковой стороне \(BC\), а угол между \(AC\) и \(AB\) равен 23°. Тогда в прямоугольном треугольнике \(ABC\): \(\angle ACB=90°\), \(\angle CAB=23°\), \(\angle ABC=67°\).

Положим \(A=(0,0)\), \(B=(L,0)\). Так как \(AC\) образует с основанием угол 23°, координаты точки \(C\) равны \((L\cos^2 23°,\,L\sin 23°\cos 23°)\). Поскольку \(CD=s\), точка \(D\) находится на расстоянии \(s\) влево от \(C\). Условие задачи даёт \(AD=s\).

Из равенства квадратов длин получаем: \(s^2=(L\cos^2 23°-s)^2+(L\sin 23°\cos 23°)^2\). После сокращения одинаковых членов: \(2Ls\cos^2 23°=L^2\cos^2 23°\), поэтому \(s=L/2\).

Тогда горизонтальная координата точки \(D\) равна \(L(\cos^2 23°-1/2)=L\cos 46°/2\), а её высота над основанием — \(L\sin 46°/2\). Следовательно, боковая сторона \(AD\) образует с основанием угол 46°. Угол при вершине \(D\) равен \(180°-46°=134°\). Угол при вершине \(C\) равен \(180°-67°=113°\).

Ответ: 46°, 67°, 113° и 134°.