7. В окружности с центром в точке О отрезки АС и BD — диаметры. Угол AOD равен 108°. Найдите угол АСВ. Ответ

Решение:

Угол AOD — центральный угол, опирающийся на дугу AD. Величина дуги AD равна величине центрального угла, т.е. \(\text{arc } AD = 108^{\circ}\).

Угол ABD — вписанный угол, опирающийся на дугу AD. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

\[ \angle ABD = \frac{1}{2} \text{arc } AD = \frac{1}{2} \cdot 108^{\circ} = 54^{\circ} \]

Так как BD — диаметр, то угол BCD — вписанный угол, опирающийся на диаметр, следовательно, \(\angle BCD = 90^{\circ}\) (прямой угол).

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

\[ \angle CBD + \angle BDC + \angle BCD = 180^{\circ} \]\[ 54^{\circ} + \angle BDC + 90^{\circ} = 180^{\circ} \]\[ \angle BDC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 54^{\circ} = 36^{\circ} \]

Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB.

Угол AOD и угол BOC — вертикальные углы, следовательно, \(\angle BOC = \angle AOD = 108^{\circ}\).

Угол BOC — центральный, опирающийся на дугу BC. Следовательно, \(\text{arc } BC = 108^{\circ}\).

Угол BAC — вписанный угол, опирающийся на дугу BC. Величина угла BAC:

\[ \angle BAC = \frac{1}{2} \text{arc } BC = \frac{1}{2} \cdot 108^{\circ} = 54^{\circ} \]

Рассмотрим треугольник ABC. Угол C = 90°.

\(\angle ACB = 90^{\circ} - \angle BAC \)

\(\angle ACB = 90^{\circ} - 54^{\circ} = 36^{\circ}\)

Ответ: 36°