7. В квадрате АВСD диагональ АС пересекает отрезок ВМ (М ∈ AD) в точке Р. Найдите длины отрезков ВР и РМ, если сторона квадрата равна 16 см, а отрезок АМ равен 12 см.

Решение:

ABCD — квадрат, сторона равна 16 см. Следовательно, AB = BC = CD = AD = 16 см. AM = 12 см.

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABP \) и \( \triangle MCP \).

\( \angle BAP = \angle MCP = 45^{\circ} \) (так как AC — диагональ квадрата).

\( \angle ABP = \angle CMP \) (накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей BM).

\( \angle APB = \angle CPM \) (вертикальные углы).

Следовательно, \( \triangle ABP \sim \triangle MCP \) по двум углам.

Из подобия треугольников следует отношение сторон:

\[ \frac{AP}{CP} = \frac{BP}{MP} = \frac{AB}{MC} \]

Найдем длину MC. DM = AD - AM = 16 - 12 = 4 см. В прямоугольном треугольнике MDC, MC:

\[ MC^2 = MD^2 + CD^2 = 4^2 + 16^2 = 16 + 256 = 272 \]

\( MC = \sqrt{272} = \sqrt{16 \cdot 17} = 4\sqrt{17} \) см.

Теперь найдем отношение BP/MP:

\[ \frac{BP}{MP} = \frac{AB}{MC} = \frac{16}{4\sqrt{17}} = \frac{4}{\sqrt{17}} \]

Так как \( BP = \frac{4}{\sqrt{17}} MP \), то \( BM = BP + MP = \frac{4}{\sqrt{17}} MP + MP = MP \left( \frac{4}{\sqrt{17}} + 1 \right) \).

Найдем длину BM. В прямоугольном треугольнике ABM:

\[ BM^2 = AB^2 + AM^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400 \]

\( BM = \sqrt{400} = 20 \) см.

Теперь найдем BP и MP:

\[ MP \left( \frac{4}{\sqrt{17}} + 1 \right) = 20 \]

\[ MP \frac{4 + \sqrt{17}}{\sqrt{17}} = 20 \]

\[ MP = \frac{20 \sqrt{17}}{4 + \sqrt{17}} \]

Рационализируем знаменатель:

\[ MP = \(\frac\){20 \(\sqrt{17}\) \(4 - \sqrt{17}\)}{\(4 + \sqrt{17}\)\(4 - \sqrt{17}\)} = \(\frac{80\sqrt{17} - 20 \cdot 17}{16 - 17}\) = \(\frac{80\sqrt{17} - 340}{-1}\) = 340 - 80\(\sqrt{17}\) \) см.

\( BP = BM - MP = 20 - (340 - 80\sqrt{17}) = 20 - 340 + 80\sqrt{17} = 80\sqrt{17} - 320 \) см.

Ответ: \( BP = 80\sqrt{17} - 320 \) см, \( PM = 340 - 80\sqrt{17} \) см.