3°. Найдите высоту, проведенную к основанию равнобедренного треугольника, если основание равно 12, а угол при основании равен 30°.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Основание AC = 12. Высота BH проведена к основанию AC. Так как треугольник равнобедренный, высота BH является также и медианой, и биссектрисой. Следовательно, AH = HC = AC / 2 = 12 / 2 = 6.

В прямоугольном треугольнике ABH, угол BAH = 30° (угол при основании). Мы знаем прилежащий катет AH = 6. Нам нужно найти противолежащий катет BH (высоту).

Используем тангенс угла:

\( \tan(\angle BAH) = \frac{BH}{AH} \)

\( \tan(30^{\circ}) = \frac{BH}{6} \)

Значение \( \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) или \( \frac{\sqrt{3}}{3} \).

\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BH}{6} \)

Выразим BH:

\( BH = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} \)

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \):

\( BH = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \)

Ответ: 2√3