7 Тип 12 Найдите точку максимума функции y = x³/3 - 9x - 7.

Решение:

1. Найдем производную функции: \( y' = \frac{3x^2}{3} - 9 = x^2 - 9 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( x^2 - 9 = 0 \).
3. Решим уравнение: \( x^2 = 9 \), следовательно \( x = \pm 3 \).
4. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
   • При \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \( y' = (-4)^2 - 9 = 16 - 9 = 7 > 0 \) (функция возрастает).
   • При \( -3 < x < 3 \) (например, \( x = 0 \)): \( y' = 0^2 - 9 = -9 < 0 \) (функция убывает).
   • При \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \( y' = 4^2 - 9 = 16 - 9 = 7 > 0 \) (функция возрастает).
5. Точка \( x = -3 \) является точкой максимума, так как производная меняет знак с '+' на '-'. Точка \( x = 3 \) является точкой минимума.

Ответ: -3