6 Тип 12 Найдите наименьшее значение функции y = x³ - 2x² + x + 3 на отрезке [1;4].

Решение:

1. Найдем производную функции: \( y' = 3x^2 - 4x + 1 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 - 4x + 1 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение: \( x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6} \).
4. Критические точки: \( x_1 = \frac{4 + 2}{6} = 1 \) и \( x_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
5. Проверим, какие из критических точек принадлежат отрезку [1;4]. Только \( x = 1 \) принадлежит отрезку.
6. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих отрезку:
   • При \( x = 1 \): \( y = 1^3 - 2(1)^2 + 1 + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3 \).
   • При \( x = 4 \): \( y = 4^3 - 2(4)^2 + 4 + 3 = 64 - 2(16) + 4 + 3 = 64 - 32 + 4 + 3 = 39 \).
7. Сравним полученные значения: 3 и 39. Наименьшее значение равно 3.

Ответ: 3