7. Рабочие прокладывают тоннель длиной 39 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день было проложено 7 метров. Определите, сколько метров тоннеля было проложено за третий день, если вся работа была выполнена за 13 дней.

Решение:

Эта задача также описывает арифметическую прогрессию.

Общая длина тоннеля \( S_{13} = 39 \) метров.

Количество дней \( n = 13 \) дней.

Длина, проложенная в первый день \( a_1 = 7 \) метров.

Нужно найти длину, проложенную в третий день \( a_3 \).

1. Найдем разность арифметической прогрессии \( d \). Используем формулу суммы первых \( n \) членов: \( S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \).
2. Подставим известные значения: \( 39 = \frac{13}{2} (2 \cdot 7 + (13-1)d) \)
3. \( 39 = \frac{13}{2} (14 + 12d) \)
4. Умножим обе части на 2: \( 39 \cdot 2 = 13 (14 + 12d) \)
5. \( 78 = 13 (14 + 12d) \)
6. Разделим обе части на 13: \( \frac{78}{13} = 14 + 12d \)
7. \( 6 = 14 + 12d \)
8. \( 12d = 6 - 14 \)
9. \( 12d = -8 \)
10. \( d = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3} \) метров/день.
11. Теперь найдем, сколько метров тоннеля было проложено за третий день. Используем формулу n-го члена: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).
12. Для третьего дня (n=3): \( a_3 = a_1 + (3-1)d \)
13. \( a_3 = 7 + 2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \)
14. \( a_3 = 7 - \frac{4}{3} \)
15. Приведём к общему знаменателю: \( a_3 = \frac{21}{3} - \frac{4}{3} \)
16. \( a_3 = \frac{17}{3} \) метров.
17. Можно также представить в виде десятичной дроби: \( a_3 \approx 5.67 \) метров.

Ответ: \(\frac{17}{3}\) метров.