7. Постройте график функции \( y = \begin{cases} |x| + x, & \text{если } x < 1 \\ 3x - 1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases} \)

Решение:

Рассмотрим два случая:

1. Случай \( x < 1 \): \( y = |x| + x \)

а) Если \( x \ge 0 \) (и \( x < 1 \)), то \( |x| = x \).

\( y = x + x = 2x \).

На промежутке \( [0, 1) \) график — отрезок прямой \( y = 2x \).

• При \( x = 0 \), \( y = 0 \). Точка (0, 0).
• При \( x \) стремящемся к 1 (например, \( x = 0.9 \)), \( y = 2 \cdot 0.9 = 1.8 \). Точка (1, 2) (не включая).

б) Если \( x < 0 \) (и \( x < 1 \)), то \( |x| = -x \).

\( y = -x + x = 0 \).

На промежутке \( (-\infty, 0) \) график — луч \( y = 0 \).

• При \( x = -1 \), \( y = 0 \). Точка (-1, 0).
• При \( x \) стремящемся к 0 (например, \( x = -0.1 \)), \( y = 0 \). Точка (0, 0).

2. Случай \( x \ge 1 \): \( y = 3x - 1 \)

На промежутке \( [1, \infty) \) график — луч прямой \( y = 3x - 1 \).

• При \( x = 1 \), \( y = 3 \cdot 1 - 1 = 2 \). Точка (1, 2).
• При \( x = 2 \), \( y = 3 \cdot 2 - 1 = 5 \). Точка (2, 5).

Для построения графика:

Ответ: График функции состоит из луча \( y = 0 \) для \( x < 0 \), отрезка \( y = 2x \) для \( 0 \le x < 1 \) и луча \( y = 3x - 1 \) для \( x \ge 1 \).