7. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 7, которые больше 100 и меньше 200.

Краткое пояснение:

Для нахождения суммы натуральных чисел, кратных 7, которые находятся в заданном диапазоне, нужно определить первое и последнее число в этом диапазоне, которое делится на 7, а затем использовать формулу суммы арифметической прогрессии.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим первое натуральное число, кратное 7, которое больше 100. Делим 100 на 7: \( 100 ÷ 7 ≈ 14.28 \). Значит, следующее целое число — 15. Первое число: \( 15 × 7 = 105 \).
2. Шаг 2: Находим последнее натуральное число, кратное 7, которое меньше 200. Делим 200 на 7: \( 200 ÷ 7 ≈ 28.57 \). Значит, предыдущее целое число — 28. Последнее число: \( 28 × 7 = 196 \).
3. Шаг 3: У нас есть арифметическая прогрессия, где \( a_1 = 105 \), \( a_n = 196 \) и разность \( d = 7 \).
4. Шаг 4: Находим количество членов прогрессии (n) по формуле: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).
5. Шаг 5: \( 196 = 105 + (n-1) × 7 \).
6. Шаг 6: \( 196 - 105 = (n-1) × 7 \).
7. Шаг 7: \( 91 = (n-1) × 7 \).
8. Шаг 8: \( n-1 = rac{91}{7} = 13 \).
9. Шаг 9: \( n = 13 + 1 = 14 \).
10. Шаг 10: Находим сумму первых 14 членов арифметической прогрессии по формуле: \( S_n = \frac{(a_1 + a_n) × n}{2} \).
11. Шаг 11: \( S_{14} = rac{(105 + 196) × 14}{2} = rac{301 × 14}{2} = rac{4214}{2} = 2107 \).

Ответ: Сумма всех натуральных чисел, кратных 7, которые больше 100 и меньше 200, равна 2107.