7. Найдите область определения функции y = logx (4x-1)/(x+2).

Решение:

Для нахождения области определения логарифмической функции \( y = \log_a b \) необходимо выполнение двух условий:

1. Основание логарифма \( a > 0 \) и \( a \neq 1 \). В данном случае основание равно \( x \).
• \( x > 0 \)
• \( x \neq 1 \)
2. Аргумент логарифма \( b > 0 \). В данном случае аргумент равен \( \frac{4x-1}{x+2} \).
• \( \frac{4x-1}{x+2} > 0 \)

Решим неравенство \( \frac{4x-1}{x+2} > 0 \) методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя:

• \( 4x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1/4 \)
• \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \)

Разместим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения в каждом интервале:

• При \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \( \frac{4(-3)-1}{-3+2} = \frac{-13}{-1} = 13 > 0 \).
• При \( -2 < x < 1/4 \) (например, \( x = 0 \)): \( \frac{4(0)-1}{0+2} = \frac{-1}{2} < 0 \).
• При \( x > 1/4 \) (например, \( x = 1 \)): \( \frac{4(1)-1}{1+2} = \frac{3}{3} = 1 > 0 \).

Таким образом, \( \frac{4x-1}{x+2} > 0 \) при \( x \in (-\infty; -2) \cup (1/4; \infty) \).

Теперь объединим все условия:

• \( x > 0 \)
• \( x \neq 1 \)
• \( x \in (-\infty; -2) \cup (1/4; \infty) \)

Учитывая, что \( x > 0 \), мы исключаем интервал \( (-\infty; -2) \).

Остаётся \( x > 0 \), \( x \neq 1 \) и \( x > 1/4 \).

Пересекая эти условия, получаем \( x > 1/4 \) и \( x \neq 1 \).

Ответ: \( x \in (1/4; 1) \cup (1; \infty) \).