7. (3 балла) Решите неравенство: a) (x-1)^2 (x+3) / (2-x) <= 0 б) 0,7^(4x-12) < 1 в) log_1/3 (x-2) >= -1

Решение:

а) \( \frac{(x-1)^2 (x+3)}{2-x} \le 0 \)

1. Найдём корни числителя и знаменателя.
2. Корень числителя: \( (x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 \) (кратности 2), \( x+3 = 0 \Rightarrow x = -3 \).
3. Корень знаменателя: \( 2-x = 0 \Rightarrow x = 2 \). Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x \neq 2 \).
4. Рассмотрим интервалы, определённые корнями: \( (-\infty, -3], [-3, 1], [1, 2) \)
5. Проверим знаки выражения в каждом интервале:
• При \( x < -3 \), например \( x = -4 \): \( \frac{(-)^2 (+)}{+} = \frac{+}{+} = + \)
• При \( -3 < x < 1 \), например \( x = 0 \): \( \frac{(-)^2 (+)}{+} = \frac{+}{+} = + \)
• При \( 1 < x < 2 \), например \( x = 1.5 \): \( \frac{(+)^2 (+)}{+} = \frac{+}{+} = + \)
• \( x = 1 \) — корень чётной кратности, знак не меняется.
• При \( x = -3 \), числитель равен 0, значит \( \frac{0}{+} = 0 \), что удовлетворяет неравенству.
• Знаменатель \( 2-x \) положителен при \( x < 2 \) и отрицателен при \( x > 2 \).
• Рассмотрим знаки:
• \( (-\infty, -3] \): \( \frac{(+)(+)}{+} = + \)
• \( [-3, 1] \): \( \frac{(+)(+)}{+} = + \)
• \( [1, 2) \): \( \frac{(+)(+)}{+} = + \)
• \( (2, \infty) \): \( \frac{(+)(+)}{-} = - \)
• Нам нужно \( \le 0 \), значит подходит интервал \( (2, \infty) \).
• Однако, есть нюанс. \( (x-1)^2 \) всегда \( \ge 0 \).
• Поэтому неравенство \( \frac{(x-1)^2 (x+3)}{2-x} \le 0 \) равносильно \( \frac{x+3}{2-x} \le 0 \) при \( x \neq 1 \).
• Решаем \( \frac{x+3}{2-x} \le 0 \):
• Числитель \( x+3=0 \Rightarrow x=-3 \).
• Знаменатель \( 2-x=0 \Rightarrow x=2 \) (исключаем).
• Интервалы: \( (-\infty, -3], [-3, 2) \).
• \( (-\infty, -3] \): \( \frac{-}{+} = - \) (подходит).
• \( [-3, 2) \): \( \frac{+}{+} = + \) (не подходит).
• Исключаем \( x=1 \), который находится в интервале \( [-3, 2) \), но так как он корень чётной кратности, он не меняет знак.
• Но \( (x-1)^2 \) может быть равно 0, что даёт \( x=1 \) как решение.
• Значит, \( x=-3 \) и \( x=1 \) являются решениями.
• В интервале \( (2, \infty) \), \( \frac{(+)(+)}{-} = - \).
• Итак, \( x \in (-\infty, -3] \cup [1, 1] \text{ (т.е. } x=1) \text{ ) } \cup (2, \infty) \).
• Объединим: \( x \in (-\infty, -3] \cup \{1\} \cup (2, \infty) \)
• При \( x=1 \), \( \frac{0}{1}=0 \le 0 \).
• При \( x=-3 \), \( \frac{0}{5}=0 \le 0 \).
• При \( x > 2 \), \( \frac{(+)(+)}{-} = - \) (подходит).
• Итак, \( x \in (-\infty, -3] \cup \{1\} \cup (2, \infty) \).

б) \( 0.7^{4x-12} < 1 \)

1. Так как основание степени \( 0.7 \) меньше 1, при снятии степени знак неравенства меняется.
2. \( 4x - 12 > \log_{0.7} 1 \)
3. \( 4x - 12 > 0 \)
4. \( 4x > 12 \)
5. \( x > 3 \)

в) \( \log_{\frac{1}{3}} (x-2) \ge -1 \)

1. Основание логарифма \( \frac{1}{3} < 1 \), поэтому при раскрытии логарифма знак неравенства меняется.
2. \( x-2 \le \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} \)
3. \( x-2 \le 3 \)
4. \( x \le 5 \)
5. Также необходимо учесть, что аргумент логарифма должен быть больше нуля: \( x-2 > 0 \Rightarrow x > 2 \).
6. Объединяем условия: \( 2 < x \le 5 \)

Ответ: а) \( x \in (-\infty, -3] \cup \{1\} \cup (2, \infty) \); б) \( x > 3 \); в) \( x \in (2, 5] \).