6. (2 балла) Решите тригонометрическое уравнение: a) (2sin x - 1)(cos x + 1) = 0; б) 2sin^2 x + cos x = 1; в) sin x + 3 cos x = 0.

Решение:

а) \( (2\sin x - 1)(\cos x + 1) = 0 \)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. \( 2\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2} \)
• \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \)
• \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \)
2. \( \cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -1 \)
• \( x = \pi + 2\pi n \)

б) \( 2\sin^2 x + \cos x = 1 \)

1. Заменим \( \sin^2 x \) через \( 1 - \cos^2 x \): \( 2(1 - \cos^2 x) + \cos x = 1 \)
2. Раскроем скобки: \( 2 - 2\cos^2 x + \cos x = 1 \)
3. Перенесём всё в одну часть: \( -2\cos^2 x + \cos x + 1 = 0 \)
4. Умножим на -1: \( 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0 \)
5. Введём замену \( y = \cos x \): \( 2y^2 - y - 1 = 0 \)
6. Решим квадратное уравнение: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \), \( \sqrt{D} = 3 \)
7. \( y_1 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \)
8. \( y_2 = \frac{1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \)
9. Подставим обратно \( \cos x \):
• \( \cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k \)
• \( \cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \)

в) \( \sin x + 3\cos x = 0 \)

1. Разделим обе части уравнения на \( \cos x \) (при условии, что \( \cos x \neq 0 \), что верно, так как если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \) и \( \pm 1 + 3 \cdot 0 \neq 0 \)).
2. \( \frac{\sin x}{\cos x} + 3 \frac{\cos x}{\cos x} = 0 \)
3. \( \operatorname{tg} x + 3 = 0 \)
4. \( \operatorname{tg} x = -3 \)
5. \( x = \operatorname{arctg}(-3) + \pi k \)
6. \( x = -\operatorname{arctg}(3) + \pi k \)

Ответ: а) \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, x = \pi + 2\pi n \); б) \( x = 2\pi k, x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \); в) \( x = -\operatorname{arctg}(3) + \pi k \).