68 Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей.

Доказательство:

По определению, площадь четырёхугольника \( S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{CBD} \).

В треугольнике \( ABD \) \( AO \perp BD \), следовательно, \( S_{ABD} = \frac{1}{2} AO \cdot BD \).

Аналогично, в треугольнике \( CBD \) \( CO \perp BD \), следовательно, \( S_{CBD} = \frac{1}{2} CO \cdot BD \).

Значит, \( S_{ABCD} = \frac{1}{2} AO \cdot BD + \frac{1}{2} CO \cdot BD = \frac{1}{2} BD (AO + CO) = \frac{1}{2} BD \cdot AD \), что и требовалось доказать.