67. Найдите область определения функции: 1) f(x)=4x−13; 2) f(x)=7/(x+6); 3) f(x)=(x+10)/8; 4) f(x)=(x+4)/(x−5); 5) f(x)=√(x−5); 6) f(x)=1/√(4−x); 7) f(x)=9/(x²−5); 8) f(x)=14/(x²+4); 9) f(x)=(7x+13)/(x²−7x); 10) f(x)=x/(|x|−3); 11) f(x)=9/(|x|+5); 12) f(x)=13/(|x|+x²); 13) f(x)=√(x+5)+√(3−x); 14) f(x)=√(2−x)−(x−3)/(x+5); 15) f(x)=√(x−2)+√(2−x); 16) f(x)=√(x−9)+6/√(8−x); 17) f(x)=√(x+2)+(x−7)/(x²−4); 18) f(x)=√(x−6)/√(x+3)+(5x−4)/(x²−8x+7).

Используем правила: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — отличаться от нуля. Для знаменателя, содержащего корень, подкоренное выражение должно быть строго положительным.

1. D(f)=ℝ.
2. x+6≠0, поэтому D(f)=(-∞;−6)∪(−6;+∞).
3. D(f)=ℝ.
4. x−5≠0, поэтому D(f)=(-∞;5)∪(5;+∞).
5. x−5≥0, поэтому D(f)=[5;+∞).
6. 4−x>0, поэтому D(f)=(-∞;4).
7. x²−5≠0, x≠±√5. Поэтому D(f)=(-∞;−√5)∪(−√5;√5)∪(√5;+∞).
8. x²+4>0 при любом x. Поэтому D(f)=ℝ.
9. x²−7x=x(x−7)≠0, поэтому x≠0 и x≠7. D(f)=(-∞;0)∪(0;7)∪(7;+∞).
10. |x|−3≠0, поэтому |x|≠3 и x≠±3. D(f)=(-∞;−3)∪(−3;3)∪(3;+∞).
11. |x|+5>0 при любом x. D(f)=ℝ.
12. |x|+x²=0 только при x=0. Поэтому D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞).
13. x+5≥0 и 3−x≥0. Следовательно, −5≤x≤3. D(f)=[−5;3].
14. 2−x≥0 и x+5≠0. Поэтому x≤2, x≠−5. D(f)=(-∞;−5)∪(−5;2].
15. x−2≥0 и 2−x≥0. Значит, x=2. D(f)={2}.
16. x−9≥0, но для дроби 8−x>0. Условия x≥9 и x<8 несовместимы. D(f)=∅.
17. x+2≥0 и x²−4≠0. Поэтому x≥−2, x≠−2, x≠2. D(f)=(−2;2)∪(2;+∞).
18. x−6≥0, x+3>0, x²−8x+7=(x−1)(x−7)≠0. При x≥6 исключаем x=7. D(f)=[6;7)∪(7;+∞).