657. Точки A и B разделяют окружность на две дуги, отношение которых равно 6 : 5, считая от точки A. Найдите угол M, если точка M принадлежит большей дуге.

Решение:

Пусть градусные меры дуг, на которые точки A и B делят окружность, равны \( 6x \) и \( 5x \).

Сумма градусных мер дуг окружности равна 360°.

\( 6x + 5x = 360° \)

\( 11x = 360° \)

\( x = \frac{360°}{11} \)

Большая дуга равна \( 6x = 6 \cdot \frac{360°}{11} = \frac{2160°}{11} \).

Меньшая дуга равна \( 5x = 5 \cdot \frac{360°}{11} = \frac{1800°}{11} \).

Точка M принадлежит большей дуге AB. Угол AMB является вписанным углом, опирающимся на меньшую дугу AB.

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

\( \angle AMB = \frac{1}{2} \cdot \text{меньшая дуга AB} \)

\( \angle AMB = \frac{1}{2} \cdot \frac{1800°}{11} = \frac{900°}{11} \)

\( \angle AMB \approx 81.82° \)

Ответ: Угол M равен \( \frac{900}{11}° \) (приблизительно 81.82°).