60. Докажите, что среднее гармоническое всегда лежит в промежутке между наименьшим и наибольшим числами набора.

Пусть все числа набора положительны, а их наименьшее и наибольшее значения равны \(m\) и \(M\). Для каждого числа \(x_i\) выполняется \(m\le x_i\le M\), поэтому \(1/M\le1/x_i\le1/m\).

Сложив эти неравенства для набора из \(n\) чисел, получаем \(n/M\le\sum_{i=1}^{n}1/x_i\le n/m\).

Среднее гармоническое равно \(H=n/(\sum_{i=1}^{n}1/x_i)\). Поскольку знаменатель положителен, из полученных границ следует \(m\le H\le M\).

Доказано.