6. Выполните деление: (3x+6y) / (x^2-y^2) : (5x+10y) / (x^2-2xy+y^2)

Решение:

Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь.

Запишем деление как умножение:

\[ \frac{3x + 6y}{x^2 - y^2} \cdot \frac{x^2 - 2xy + y^2}{5x + 10y} \]

Разложим все выражения на множители:

\[ 3x + 6y = 3(x + 2y) \]

\[ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \]

\[ x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2 \]

\[ 5x + 10y = 5(x + 2y) \]

Подставим разложенные множители в выражение:

\[ \frac{3(x + 2y)}{(x - y)(x + y)} \cdot \frac{(x - y)^2}{5(x + 2y)} \]

Перемножим числители и знаменатели:

\[ \frac{3(x + 2y)(x - y)^2}{(x - y)(x + y)5(x + 2y)} \]

Сократим общие множители: \( (x + 2y) \) и один множитель \( (x - y) \):

\[ \frac{3(x - y)}{5(x + y)} \]

Ответ: \( \frac{3(x - y)}{5(x + y)} \)