6) В треугольнике со сторонами 8 и 12 проведены высоты к этим сторонам. Найдите большую из этих высот, если меньшая из них равна 4.

Задание 409. б)

Дано:

• Сторона 1: \( a = 8 \)
• Сторона 2: \( b = 12 \)
• Меньшая высота: \( h_{min} = 4 \)

Найти: большую высоту \( h_{max} \).

Решение:

В треугольнике площадь \( S \) можно выразить двумя способами:

\[ S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b \]

Отсюда следует, что \( a h_a = b h_b \).

Мы знаем, что чем короче сторона, тем длиннее высота, проведённая к ней. Так как \( a = 8 \) и \( b = 12 \), то сторона \( a \) короче стороны \( b \). Следовательно, высота \( h_a \) будет больше высоты \( h_b \).

По условию, меньшая высота равна 4. Значит, \( h_b = 4 \) (так как \( b \) — большая сторона).

Теперь найдём \( h_a \):

\[ 8 \cdot h_a = 12 \cdot 4 \]

\[ 8 h_a = 48 \]

\[ h_a = \frac{48}{8} = 6 \]

Большая высота равна 6.

Ответ: Большая высота равна 6.