6. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C=90°) AC=10 см, ∠B=60°. Тогда расстояние от вершины С до гипотенузы АВ равно...

1. Определим углы треугольника:

• Угол C = 90° (по условию).
• Угол B = 60° (по условию).
• Угол A = 180° - 90° - 60° = 30°.

2. Найдем длину гипотенузы AB:

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. Здесь катет BC противолежит углу A (30°).

AC - катет, прилежащий к углу A. Используем тангенс:

\[ \tan(A) = \frac{BC}{AC} \]

\[ \tan(30°) = \frac{BC}{10} \]

\[ BC = 10 \cdot \tan(30°) = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} \] см.

Теперь найдем гипотенузу AB, используя синус угла A:

\[ \sin(A) = \frac{BC}{AB} \]

\[ \sin(30°) = \frac{BC}{AB} \]

\[ \frac{1}{2} = \frac{BC}{AB} \]

\[ AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} \] см.

3. Найдем высоту, опущенную из вершины C на гипотенузу AB:

Расстояние от вершины C до гипотенузы AB - это высота CH, проведенная к гипотенузе.

Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:

• \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \]
• \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \]

Приравниваем:

\[ AC \cdot BC = AB \cdot CH \]

\[ CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} \]

Подставляем найденные значения:

\[ CH = \frac{10 \cdot \frac{10}{\sqrt{3}}}{\frac{20}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{100}{\sqrt{3}}}{\frac{20}{\sqrt{3}}} = \frac{100}{20} = 5 \] см.

Альтернативный способ:

В прямоугольном треугольнике ABC:

• \[ rac{AC}{AB} = rac{10}{rac{20}{\sqrt{3}}} = rac{10\[\sqrt{3}\]}{20} = rac{\sqrt{3}}{2} \] (это old{sin(B)})
• \[ rac{BC}{AB} = rac{\frac{10}{\sqrt{3}}}{\frac{20}{\sqrt{3}}} = rac{10}{20} = rac{1}{2} \] (это old{sin(A)})

Расстояние от вершины C до гипотенузы AB - это высота CH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Угол CAH = 30°.

\[ CH = AC \cdot \sin(A) \]

\[ CH = 10 \cdot \sin(30°) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \] см.

Ответ: 5 см