6. Тип 6 № 370465 i Найдите значение выражения \( \frac{1}{\sqrt{5}-2} - \frac{1}{\sqrt{5}+2} \).

Решение:

Для вычисления значения выражения приведем дроби к общему знаменателю.

1. Общий знаменатель равен произведению знаменателей: \( (\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2) \).
2. Воспользуемся формулой разности квадратов: \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \).
3. \( (\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1 \).
4. Теперь преобразуем числители дробей:
• Первая дробь: \( 1 \times (\sqrt{5}+2) = \sqrt{5}+2 \).
• Вторая дробь: \( 1 \times (\sqrt{5}-2) = \sqrt{5}-2 \).
5. Подставим преобразованные числители в исходное выражение:
• \( \frac{\sqrt{5}+2}{1} - \frac{\sqrt{5}-2}{1} = (\sqrt{5}+2) - (\sqrt{5}-2) \)
6. Раскроем скобки:
• \( \sqrt{5}+2 - \sqrt{5}+2 \)
7. Приведем подобные слагаемые:
• \( (\sqrt{5} - \sqrt{5}) + (2+2) = 0 + 4 = 4 \).

Ответ: 4