6. Решите уравнение \( x^2 + y^2 + 4x - 8y + 20 = 0 \).

Решение:

Преобразуем уравнение, выделив полные квадраты.

1. Сгруппируем члены с \( x \) и \( y \): \( (x^2 + 4x) + (y^2 - 8y) + 20 = 0 \).
2. Выделим полные квадраты. Для \( x^2 + 4x \) добавим и вычтем \( (4/2)^2 = 4 \). Для \( y^2 - 8y \) добавим и вычтем \( (-8/2)^2 = 16 \).
3. \( (x^2 + 4x + 4) - 4 + (y^2 - 8y + 16) - 16 + 20 = 0 \).
4. Запишем полные квадраты: \( (x+2)^2 + (y-4)^2 - 4 - 16 + 20 = 0 \).
5. Упростим: \( (x+2)^2 + (y-4)^2 + 0 = 0 \).
6. \( (x+2)^2 + (y-4)^2 = 0 \).
7. Сумма двух квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждый из квадратов равен нулю.
8. \( x+2 = 0 \) \( \rightarrow \) \( x = -2 \).
9. \( y-4 = 0 \) \( \rightarrow \) \( y = 4 \).

Ответ: \( x = -2 \), \( y = 4 \).