5. Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, произведение первого и третьего из этих чисел на 17 меньше произведения второго и четвёртого.

Решение:

Обозначим четыре последовательных натуральных числа как \( n \), \( n+1 \), \( n+2 \), \( n+3 \), где \( n \) — натуральное число (\( n \ge 1 \)).

1. Первое число: \( n \).
2. Второе число: \( n+1 \).
3. Третье число: \( n+2 \).
4. Четвёртое число: \( n+3 \).
5. Произведение первого и третьего чисел: \( n(n+2) = n^2 + 2n \).
6. Произведение второго и четвёртого чисел: \( (n+1)(n+3) = n^2 + 3n + n + 3 = n^2 + 4n + 3 \).
7. Согласно условию, произведение первого и третьего чисел на 17 меньше произведения второго и четвёртого. Запишем уравнение: \( n^2 + 2n = (n^2 + 4n + 3) - 17 \).
8. Решим полученное уравнение: \( n^2 + 2n = n^2 + 4n - 14 \) \( 2n = 4n - 14 \) \( 14 = 4n - 2n \) \( 14 = 2n \) \( n = \frac{14}{2} = 7 \).
9. Найдем четыре последовательных числа: \( 7, 7+1=8, 7+2=9, 7+3=10 \).
10. Проверим условие: произведение первого и третьего \( 7 \cdot 9 = 63 \). Произведение второго и четвёртого \( 8 \cdot 10 = 80 \). Разность \( 80 - 63 = 17 \). Условие выполняется.

Ответ: 7, 8, 9, 10.