6. Решите систему уравнений: \(\begin{cases} \frac{x}{4} + 2y = 5 \\ \frac{x+6}{4} + \frac{y+6}{3} = 3 \end{cases}\)

Решение:

Преобразуем первое уравнение системы:

\(\frac{x}{4} + 2y = 5\)

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби:

\(x + 8y = 20\) (1)

Преобразуем второе уравнение системы:

\(\frac{x+6}{4} + \frac{y+6}{3} = 3\)

Умножим обе части на 12 (наименьший общий знаменатель):

\(3(x+6) + 4(y+6) = 36\)

Раскроем скобки:

\(3x + 18 + 4y + 24 = 36\)

Приведём подобные слагаемые:

\(3x + 4y + 42 = 36\)

Перенесём числовые члены в правую часть:

\(3x + 4y = 36 - 42\)

\(3x + 4y = -6\) (2)

Теперь имеем систему уравнений:

\(\begin{cases} x + 8y = 20 \\ 3x + 4y = -6 \end{cases}\)

Выразим \(x\) из первого уравнения:

\(x = 20 - 8y\)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\(3(20 - 8y) + 4y = -6\)

\(60 - 24y + 4y = -6\)

\(60 - 20y = -6\)

\(-20y = -6 - 60\)

\(-20y = -66\)

\(y = \frac{-66}{-20} = \frac{33}{10} = 3,3\)

Теперь найдём \(x\) подставив значение \(y\) в выражение для \(x\):

\(x = 20 - 8y = 20 - 8 \cdot 3,3 = 20 - 26,4 = -6,4\)

Ответ: \(x = -6,4\), \(y = 3,3\).