6. Решите неравенство log0,5 (x² – 3x) ≥ log0,5 (2x – 4), учитывая область определения и свойство монотонности логарифмической функции.

Решение:

1. Найдём область определения неравенства:

\( x^2 - 3x > 0 \) и \( 2x - 4 > 0 \).

Из \( 2x - 4 > 0 \) следует \( 2x > 4 \), то есть \( x > 2 \).

Из \( x^2 - 3x > 0 \) следует \( x(x - 3) > 0 \). Решения: \( x < 0 \) или \( x > 3 \).

Область определения неравенства — пересечение условий: \( (x < 0 \text{ или } x > 3) \) и \( x > 2 \). Получаем \( x > 3 \).

2. Решим само неравенство, учитывая, что основание логарифма \( 0.5 \) меньше 1, значит, функция логарифма убывающая. При переходе от логарифмов к выражениям под логарифмом знак неравенства меняется на противоположный:

\( x^2 - 3x \le 2x - 4 \)

\( x^2 - 3x - 2x + 4 \le 0 \)

\( x^2 - 5x + 4 \le 0 \)

3. Найдём корни квадратного трёхчлена \( x^2 - 5x + 4 = 0 \).

Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \).

Корни: \( x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4 \).

Парабола \( y = x^2 - 5x + 4 \) направлена ветвями вверх, поэтому \( x^2 - 5x + 4 \le 0 \) при \( 1 \le x \le 4 \).

4. Теперь учтём область определения \( x > 3 \).

Пересечение промежутков \( [1; 4] \) и \( (3; \infty) \) даёт \( (3; 4] \).

Ответ: \( (3; 4] \).