5. Вычислите значение выражения sin (arcctg \( \frac{-\sqrt{3}}{3} \)).

Решение:

Сначала найдём значение \( \text{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \).

Обозначим \( \alpha = \text{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \). По определению арккотангенса, \( \text{ctg}(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \) и \( \alpha \in (0; \pi) \).

Мы знаем, что \( \text{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \).

Так как \( \text{ctg}(\pi - x) = -\text{ctg}(x) \), то \( \text{ctg}\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\text{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \).

Следовательно, \( \alpha = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \).

Теперь нам нужно найти \( \sin(\alpha) = \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) \).

\( \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).