6. Реши уравнения: a) \(x : 12 = \frac{2}{3}\); б) \(\frac{z+1}{6} = \frac{5}{3}\); в) \(17 : (3m) = 3\frac{7}{9} : 5\frac{1}{3}\).

6. Решение уравнений

а) \(x : 12 = \frac{2}{3}\)

1. Это пропорция. Чтобы найти неизвестный крайний член, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член.
2. \(x = 12 \cdot \frac{2}{3}\)
3. \(x = \frac{12 \cdot 2}{3} = \frac{24}{3}\)
4. \(x = 8\)

б) \(\frac{z+1}{6} = \frac{5}{3}\)

1. Используем основное свойство пропорции: \((z+1) \cdot 3 = 6 \cdot 5\)
2. \((z+1) \cdot 3 = 30\)
3. \(z+1 = \frac{30}{3}\)
4. \(z+1 = 10\)
5. \(z = 10 - 1\)
6. \(z = 9\)

в) \(17 : (3m) = 3\frac{7}{9} : 5\frac{1}{3}\)

1. Переведём смешанные дроби в неправильные: \(3\frac{7}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{34}{9}\), \(5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}\).
2. Запишем пропорцию: \(17 : (3m) = \frac{34}{9} : \frac{16}{3}\)
3. Используем основное свойство пропорции: \(17 \cdot \frac{16}{3} = (3m) \cdot \frac{34}{9}\)
4. \(\frac{17 \cdot 16}{3} = \frac{3m \cdot 34}{9}\)
5. \(\frac{272}{3} = \frac{102m}{9}\)
6. Умножим обе части на 9: \(\frac{272}{3} \cdot 9 = 102m\)
7. \(272 \cdot 3 = 102m\)
8. \(816 = 102m\)
9. \(m = \frac{816}{102}\)
10. \(m = 8\)

Ответ: а) \(x = 8\); б) \(z = 9\); в) \(m = 8\).