6. Прямолинейное движение частицы задается уравнением d²x/dt² = -16x, где t момент времени в секундах, x перемещение от фиксированной точки в метрах. а) Покажите, что уравнение х = Acos4t + Bsin4t является общим решением данного уравнения; b) В момент времени t = 0, перемещение х = 3 и скорость частицы равна 12. Найдите зачение А и В. c) найдите перемещение частицы в момент времени t = π/2.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Решение:

Дифференцируем x = Acos4t + Bsin4t дважды: x' = -4Asin4t + 4Bcos4t, x'' = -16Acos4t - 16Bsin4t = -16(Acos4t + Bsin4t) = -16x. Уравнение верно.
При t=0, x=3: 3 = Acos(0) + Bsin(0), A=3. Скорость x' = -4Asin4t + 4Bcos4t. При t=0, x'=12: 12 = -4A(0) + 4B(1), 4B=12, B=3.
Подставляем A=3, B=3 и t=π/2: x = 3cos(4*π/2) + 3sin(4*π/2) = 3cos(2π) + 3sin(2π) = 3(1) + 3(0) = 3.

Ответ: a) x'' = -16x; b) A=3, B=3; c) x = 3.