№6. Построить в одной системе координат графики функций у=х³ и у=2х+4

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

График функции y = x³ (кубическая парабола):

• Эта функция является нечетной, её график симметричен относительно начала координат.
• При x=0, y=0. Точка (0,0).
• При x=1, y=1. Точка (1,1).
• При x=-1, y=-1. Точка (-1,-1).
• При x=2, y=8. Точка (2,8).
• При x=-2, y=-8. Точка (-2,-8).

График функции y = 2x + 4 (прямая):

• Это линейная функция.
• Найдем точки пересечения с осями:
• Если x=0, y = 2(0) + 4 = 4. Точка (0,4).
• Если y=0, 0 = 2x + 4 => 2x = -4 => x = -2. Точка (-2,0).

а) Найдите координаты точки пересечения графиков

Чтобы найти точки пересечения, приравняем правые части уравнений:

x³ = 2x + 4

x³ - 2x - 4 = 0

Подбором находим корни этого уравнения. Пробуем целые делители свободного члена (-4): ±1, ±2, ±4.

Если x = -1: (-1)³ - 2(-1) - 4 = -1 + 2 - 4 = -3 ≠ 0

Если x = 2: (2)³ - 2(2) - 4 = 8 - 4 - 4 = 0. Значит, x=2 — один из корней.

Разделим многочлен x³ - 2x - 4 на (x-2) столбиком или по схеме Горнера.

x³ - 2x - 4 = (x-2)(x² + 2x + 2) = 0

Теперь найдем корни квадратного уравнения x² + 2x + 2 = 0. Дискриминант D = b² - 4ac = 2² - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4. Так как дискриминант отрицательный, действительных корней у этого уравнения нет.

Следовательно, единственное действительное решение — x=2.

Найдем соответствующее значение y, подставив x=2 в любое из исходных уравнений:

y = 2x + 4 = 2(2) + 4 = 4 + 4 = 8

y = x³ = (2)³ = 8

Координаты точки пересечения: (2; 8).

б) при каких значениях х, х³>2x+4

Из предыдущего пункта мы знаем, что графики пересекаются при x=2. Теперь нужно определить, где график кубической параболы y=x³ находится выше графика прямой y=2x+4.

Мы решали неравенство x³ > 2x + 4, что эквивалентно x³ - 2x - 4 > 0.

Так как мы разложили многочлен на множители: (x-2)(x² + 2x + 2) > 0.

Квадратный трехчлен x² + 2x + 2 всегда положителен, так как его дискриминант отрицателен, а старший коэффициент (1) положителен. Это означает, что знак выражения (x-2)(x² + 2x + 2) полностью определяется знаком множителя (x-2).

Следовательно, неравенство x³ > 2x + 4 выполняется, когда:

x - 2 > 0

x > 2

Ответ: x > 2