6. P_triangleABC = ?

Решение:

Дан прямоугольный треугольник \( ABC \), в котором окружность касается сторон \( AC \) в точке \( D \), \( BC \) и \( AB \).

Из рисунка видно, что \( CD = 10 \) и \( AD = 24 \).

В прямоугольном треугольнике \( ABC \), \( ∠ C = 90^\circ \).

Так как окружность вписана в треугольник, \( CD \) и \( BC \) являются отрезками касательных из точки \( C \). Центр окружности \( O \) находится на биссектрисах углов. Точка \( D \) — точка касания на \( AC \).

По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности, \( CD = CE \) (где \( E \) — точка касания на \( BC \)).

Также \( OD ⊥ AC \) и \( OE ⊥ BC \). Так как \( ∠ C = 90^\circ \), \( CDOE \) — квадрат. Следовательно, \( CE = CD = 10 \).

По условию, \( AD = 24 \). Так как \( AD \) и \( AF \) — отрезки касательных из \( A \) (где \( F \) — точка касания на \( AB \)), то \( AF = AD = 24 \).

\( BC = CE + EB \). \( AC = CD + DA = 10 + 24 = 34 \).

\( AB = AF + FB \). \( FB = EB \) (отрезки касательных из \( B \)).

По теореме Пифагора для \( △ ABC \): \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).

Нам нужно найти \( BC \) и \( AB \).

В прямоугольном треугольнике \( ABC \), \( AC = 34 \) и \( CD = 10 \). \( BC = CE + EB = 10 + EB \).

\( AB = AF + FB = 24 + EB \).

Подставим в теорему Пифагора: \( (24 + EB)^2 = 34^2 + (10 + EB)^2 \).

\[ 576 + 48EB + EB^2 = 1156 + 100 + 20EB + EB^2 \]

\[ 576 + 48EB = 1256 + 20EB \]

\[ 48EB - 20EB = 1256 - 576 \]

\[ 28EB = 680 \]

\[ EB = \frac{680}{28} = \frac{170}{7} \]

Теперь найдём стороны треугольника:

\( AC = 34 \)

\( BC = 10 + EB = 10 + \frac{170}{7} = \frac{70 + 170}{7} = \frac{240}{7} \)

\( AB = 24 + EB = 24 + \frac{170}{7} = \frac{168 + 170}{7} = \frac{338}{7} \)

Периметр \( P_{\triangle ABC} = AC + BC + AB = 34 + \frac{240}{7} + \frac{338}{7} = \frac{238}{7} + \frac{240}{7} + \frac{338}{7} = \frac{238 + 240 + 338}{7} = \frac{816}{7} \).

Ответ: P_ΔABC = 816/7.