6. Отметьте в координатной плоскости точки A(-4;0), B(2;6), C(-4;3), D(4;- 1). Проведите луч AB и отрезок CD. Найдите координаты точки пересечения луча AB и отрезка CD.

Решение:

1. Отмечаем точки:
   • A(-4; 0)
   • B(2; 6)
   • C(-4; 3)
   • D(4; -1)
2. Проводим луч AB: Луч AB исходит из точки A и проходит через точку B.
3. Проводим отрезок CD: Отрезок CD соединяет точки C и D.
4. Находим уравнение прямой AB:
• Угловой коэффициент \( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 - 0}{2 - (-4)} = \frac{6}{6} = 1 \).
• Уравнение прямой с угловым коэффициентом: \( y - y_1 = k(x - x_1) \).
• Подставляем координаты точки A(-4; 0) и \( k = 1 \): \( y - 0 = 1(x - (-4)) \) \( y = x + 4 \).
• Это уравнение луча AB, так как \( x \) принимает значения от -4 до +∞.
5. Находим уравнение прямой CD:
• Угловой коэффициент \( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 3}{4 - (-4)} = \frac{-4}{8} = -0,5 \).
• Уравнение прямой: \( y - y_1 = k(x - x_1) \).
• Подставляем координаты точки C(-4; 3) и \( k = -0,5 \): \( y - 3 = -0,5(x - (-4)) \) \( y - 3 = -0,5(x + 4) \) \( y - 3 = -0,5x - 2 \) \( y = -0,5x + 1 \).
• Это уравнение отрезка CD.
6. Находим точку пересечения луча AB и отрезка CD:
• Приравниваем уравнения прямых: \( x + 4 = -0,5x + 1 \).
• Решаем полученное уравнение: \( x + 0,5x = 1 - 4 \) \( 1,5x = -3 \) \( x = \frac{-3}{1,5} = -2 \).
• Подставляем \( x = -2 \) в уравнение прямой AB: \( y = -2 + 4 = 2 \).
• Проверим, принадлежит ли найденная точка \( (-2; 2) \) отрезку CD. Для этого \( x \) должен быть в диапазоне от -4 до 4, а \( y \) — от -1 до 3. \( -4 ≤ -2 ≤ 4 \) и \( -1 ≤ 2 ≤ 3 \). Точка принадлежит отрезку.
• Проверим, принадлежит ли найденная точка \( (-2; 2) \) лучу AB. Для этого \( x \) должен быть \( ≥ -4 \). \( -2 ≥ -4 \). Точка принадлежит лучу.

Ответ: Координаты точки пересечения луча AB и отрезка CD равны (-2; 2).