6. Найдите значения \(a\) и \(b\), для которых при всех допустимых значениях \(x\) выполнено равенство \(\frac{ax^2+x+b}{x+2}=2x-3\).

При допустимых \(x\) знаменатель \(x+2\ne0\). Умножим обе части равенства на \(x+2\):

\(ax^2+x+b=(2x-3)(x+2)\).

Раскроем скобки: \((2x-3)(x+2)=2x^2+x-6\).

Для тождественного равенства коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) должны совпадать. Отсюда \(a=2\), а свободный член \(b=-6\); коэффициент при \(x\) в обеих частях равен 1.

Ответ: \(a=2,\ b=-6\).