6. Найдите косинус угла между векторами а и Б, если векторы m=а+26 и п = 6а - в перпендикулярны, |a|= 1, |b|=2.

Дано, что векторы $$m = \vec{a} + 2\vec{b}$$ и $$n = 6\vec{a} - \vec{b}$$ перпендикулярны. Это означает, что их скалярное произведение равно нулю:

\[ m \cdot n = 0 \]

\[ (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (6\vec{a} - \vec{b}) = 0 \]

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

\[ \vec{a} \cdot (6\vec{a}) + \vec{a} \cdot (-\vec{b}) + (2\vec{b}) \cdot (6\vec{a}) + (2\vec{b}) \cdot (-\vec{b}) = 0 \]

\[ 6(\vec{a} \cdot \vec{a}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 12(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 2(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 0 \]

Учитывая, что $$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$$, $$\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$$ и $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$$:

\[ 6|\vec{a}|^2 + 11(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2|\vec{b}|^2 = 0 \]

Нам даны длины векторов: $$|\vec{a}| = 1$$ и $$|\vec{b}| = 2$$. Подставим эти значения:

\[ 6(1)^2 + 11(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2(2)^2 = 0 \]

\[ 6 + 11(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2(4) = 0 \]

\[ 6 + 11(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8 = 0 \]

\[ 11(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2 = 0 \]

\[ 11(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 2 \]

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{2}{11} \]

Теперь найдем косинус угла между векторами $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$. Скалярное произведение определяется также формулой:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \]

где $$\theta$$ — угол между векторами $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$.

Подставим известные значения:

\[ \frac{2}{11} = 1 \cdot 2 \cdot \cos(\theta) \]

\[ \frac{2}{11} = 2 \cos(\theta) \]

Разделим обе части на 2, чтобы найти $$\cos(\theta)$$:

\[ \cos(\theta) = \frac{2/11}{2} = \frac{2}{11 \cdot 2} = \frac{1}{11} \]

Ответ: Косинус угла между векторами $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$ равен $$\frac{1}{11}$$.