4. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках А (-1;-1), B(-3;1), C(1;5) и D (3;3) является прямоугольником.

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, нам нужно показать, что он является параллелограммом и что его диагонали равны, или что два смежных угла равны $$90^$$. Проверим оба условия.

1. Проверка на параллелограмм:

Четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные стороны параллельны. Найдем векторы сторон:

$$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-3 - (-1); 1 - (-1)) = (-2; 2)$$

$$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D) = (1 - 3; 5 - 3) = (-2; 2)$$

Так как $$\vec{AB} = \vec{DC}$$, то сторона AB параллельна и равна стороне DC.

$$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (1 - (-3); 5 - 1) = (4; 4)$$

$$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (3 - (-1); 3 - (-1)) = (4; 4)$$

Так как $$\vec{BC} = \vec{AD}$$, то сторона BC параллельна и равна стороне AD.

Следовательно, ABCD — параллелограмм.

2. Проверка на равенство диагоналей:

Диагонали параллелограмма равны в прямоугольнике. Найдем длины диагоналей AC и BD.

Длина вектора (или отрезка) находится по формуле: $$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Длина диагонали AC:

\[ AC = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (5 - (-1))^2} = \sqrt{(1+1)^2 + (5+1)^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \]

Длина диагонали BD:

\[ BD = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{(3+3)^2 + (2)^2} = \sqrt{6^2 + 4} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} \]

Так как $$AC = BD$$, то параллелограмм ABCD является прямоугольником.

Альтернативный способ: Проверка на прямой угол.

Если смежные стороны перпендикулярны, то угол между ними $$90^$$. Для этого скалярное произведение векторов сторон должно быть равно 0.

Скалярное произведение $$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (-2)(4) + (2)(4) = -8 + 8 = 0$$.

Так как скалярное произведение равно 0, векторы $$\vec{AB}$$ и $$\vec{BC}$$ перпендикулярны, значит, угол B равен $$90^$$. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Вывод:

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, и его диагонали равны (или смежные стороны перпендикулярны), следовательно, ABCD — прямоугольник.