6. Найдите корень уравнения: cos \( \frac{\pi(8x - 1)}{4} \) = \( \frac{\sqrt{2}}{2} \). В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решение:

Уравнение имеет вид \( \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), где \( \alpha = \frac{\pi(8x - 1)}{4} \).

Общее решение для \( \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) есть:

\[ \alpha = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{где } n \in \mathbb{Z} \]

Подставим выражение для \( \alpha \):

\[ \frac{\pi(8x - 1)}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n \]

Разделим обе части на \( \pi \):

\[ \frac{8x - 1}{4} = \pm \frac{1}{4} + 2n \]

Умножим обе части на 4:

\[ 8x - 1 = \pm 1 + 8n \]

Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( 8x - 1 = 1 + 8n \)

\[ 8x = 2 + 8n \]\[ x = \frac{2 + 8n}{8} = \frac{1}{4} + n \]

Случай 2: \( 8x - 1 = -1 + 8n \)

\[ 8x = 8n \]\[ x = n \]

Теперь найдём наибольший отрицательный корень. Подставим различные целые значения \( n \) и найдём отрицательные корни.

Из случая 1: \( x = \frac{1}{4} + n \)

• Если \( n = -1 \), то \( x = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4} \).
• Если \( n = -2 \), то \( x = \frac{1}{4} - 2 = -\frac{7}{4} \).

Из случая 2: \( x = n \)

• Если \( n = -1 \), то \( x = -1 \).
• Если \( n = -2 \), то \( x = -2 \).

Среди отрицательных корней \( -\frac{3}{4}, -\frac{7}{4}, -1, -2 \), наибольшим является \( -\frac{3}{4} \).

Ответ: -3/4