6. Из двух городов, расстояние между которыми 63 км, вышли одновременно два пешехода и встретились через 9 ч. Определите среднюю скорость каждого пешехода, зная, что если бы первый шёл в 1,5 раза быстрее, а второй — в 2 раза скорей, они встретились бы через 5 ч 15 мин.

Решение:

Пусть \(v_1\) — скорость первого пешехода, \(v_2\) — скорость второго пешехода.

Расстояние между городами \(S = 63\) км.

Время встречи \(t_1 = 9\) ч.

Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме скоростей. Расстояние равно произведению скорости сближения на время:

\(S = (v_1 + v_2) \cdot t_1 \)

\(63 = (v_1 + v_2) \cdot 9 \)

\(v_1 + v_2 = \frac{63}{9} = 7 \) км/ч

Во втором случае скорость первого пешехода \(1.5 v_1\), скорость второго — \(2 v_2\).

Время встречи \(t_2 = 5\) ч \(15\) мин. Переведём минуты в часы:

\( 15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч} = 0.25 \) ч

\( t_2 = 5.25 \) ч

\(S = (1.5 v_1 + 2 v_2) \cdot t_2 \)

\(63 = (1.5 v_1 + 2 v_2) \cdot 5.25 \)

\(1.5 v_1 + 2 v_2 = \frac{63}{5.25} \)

\(\frac{63}{5.25} = \frac{63}{\frac{21}{4}} = 63 \cdot \frac{4}{21} = 3 \cdot 4 = 12 \)

\(1.5 v_1 + 2 v_2 = 12 \)

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( v_1 + v_2 = 7 \)
2. \( 1.5 v_1 + 2 v_2 = 12 \)

Из первого уравнения выразим \(v_2\):

\( v_2 = 7 - v_1 \)

Подставим во второе уравнение:

\( 1.5 v_1 + 2(7 - v_1) = 12 \)

\( 1.5 v_1 + 14 - 2 v_1 = 12 \)

\( -0.5 v_1 = 12 - 14 \)

\( -0.5 v_1 = -2 \)

\( v_1 = \frac{-2}{-0.5} = 4 \) км/ч

Найдем \(v_2\):

\( v_2 = 7 - v_1 = 7 - 4 = 3 \) км/ч

Ответ: Скорость первого пешехода 4 км/ч, скорость второго пешехода 3 км/ч.