6. ГОЛОВОЛОМКА: AAAA AAAB CCCCC A + B + C = ?

Решение:

Представим, что каждая буква обозначает цифру. Распишем пример сложения столбиком:

\(\begin{array}{c} AAAA \\ + AAAB \\ \hline CCCCC \end{array}\)

Из последней цифры сложения \(A + B\) получается \(C\) (возможно, с переносом десятка).

Из сложения \(A + A + \text{перенос}\) получается \(C\).

Из сложения \(A + A + \text{перенос}\) получается \(C\).

Из сложения \(A + A + \text{перенос}\) получается \(C\).

Из сложения \(A + \text{перенос}\) получается \(C\).

Заметим, что \(C\) — это пятизначное число, начинающееся с \(C\). Это возможно только если \(C=1\) и \(A=0\), но \(A\) стоит в начале числа, поэтому \(A\) не может быть \(0\). Значит, \(C\) — это перенос из предыдущего разряда. Это означает, что \(C\) может быть \(1\) или \(2\) (так как \(A\) — цифра от 0 до 9, а \(A+A+\text{перенос}\) может быть максимум \(9+9+1=19\)).

Если \(C=1\), то \(A+A+\text{перенос}=1\) или \(11\). Если \(A+A+\text{перенос}\) равно \(1\), то \(A\) не может быть цифрой. Значит, \(A+A+\text{перенос}\) = \(11\) или \(21\) (что невозможно).

Рассмотрим случай, когда \(A=9\). Тогда \(AAAA = 9999\). \(AAAB = 999B\). \(CCCCC = 10000\) (если \(C=1\)).

\(9999 + 999B = 10000\). Если \(B=0\), то \(9999 + 9990 = 19989\) (не подходит).

Рассмотрим внимательнее структуру:

\(AAAA + AAAB = CCCCC\)

Если \(A\) — цифра, то \(AAAA\) — число вида \(1000A + 100A + 10A + A\) = \(1111A\).

\(AAAB\) — число вида \(1000A + 100A + 10A + B\) = \(1110A + B\).

\(CCCCC\) — число вида \(10000C + 1000C + 100C + 10C + C\) = \(11111C\).

\(1111A + 1110A + B = 11111C\)

\(2221A + B = 11111C\)

Так как \(CCCCC\) — пятизначное число, \(C\) должно быть \(1\) (иначе \(11111 \times 2 = 22222\), \(11111 \times 3 = 33333\) и т.д. Но \(AAAA\) и \(AAAB\) — четырёхзначные, максимально \(9999 + 9999 = 19998\)).

Значит, \(C=1\).

\(2221A + B = 11111 \times 1 = 11111\)

\(2221A + B = 11111\)

Если \(A=1\), \(2221 + B = 11111\), \(B = 8890\) (не подходит).

Если \(A=2\), \(4442 + B = 11111\), \(B = 6669\) (не подходит).

Если \(A=3\), \(6663 + B = 11111\), \(B = 4448\) (не подходит).

Если \(A=4\), \(8884 + B = 11111\), \(B = 2227\) (не подходит).

Если \(A=5\), \(11105 + B = 11111\), \(B = 6\).

Проверим: \(A=5, B=6, C=1\).

\(AAAA = 5555\)

\(AAAB = 5556\)

\(5555 + 5556 = 11111\)

\(CCCCC = 11111\).

Значит, \(A=5\), \(B=6\), \(C=1\).

\(A + B + C = 5 + 6 + 1 = 12\).

Ответ: 12.