6) \(\frac{x^2}{3} + \frac{x+1}{2} = 1\)

Решение:

Приведём дроби к общему знаменателю 6:

\[ \frac{2x^2}{6} + \frac{3(x+1)}{6} = 1 \]

Умножим обе части уравнения на 6:

\( 2x^2 + 3(x+1) = 6 \)

Раскроем скобки:

\( 2x^2 + 3x + 3 = 6 \)

Перенесём свободный член в левую часть:

\( 2x^2 + 3x + 3 - 6 = 0 \)

\( 2x^2 + 3x - 3 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 9 + 24 = 33 \]

Найдём корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{33}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + \sqrt{33}}{4} \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{33}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - \sqrt{33}}{4} \]

Ответ: \(\frac{-3 + \sqrt{33}}{4}\), \(\frac{-3 - \sqrt{33}}{4}\).