6) ABCD – прямоугольник. Найти: AD.

Решение:

В прямоугольнике ABCD \(\angle B = 90^{\circ}\).

В треугольнике ABE \(\angle AEB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ}\).

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. \( AC = BD \), \( AO = OC = BO = OD \).

В треугольнике BOC \(\angle OBC = 90^{\circ} - \angle ABE = 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ}\).

\(\angle BOC = 180^{\circ} - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^{\circ} - (15^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ}\).

В треугольнике BCD \(\angle C = 90^{\circ}\).

\( BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} \).

Рассмотрим \(\triangle BCD \). \( ∠ BCD = 90^{\circ} \).

\( CD = 6 \) см.

\( BC = AB = 4 \) см.

\( BD = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} \) см.

\( AD = BC = 4 \) см.

Ответ: \( AD = 4 \) см.