6) (7x – 8π)(8x – 7π) / √sin x = 0.

Решение:

1. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
2. Приравниваем числитель к нулю: \( (7x - 8\pi)(8x - 7\pi) = 0 \).
3. Это дает два возможных случая: \( 7x - 8\pi = 0 \) или \( 8x - 7\pi = 0 \).
4. Из \( 7x - 8\pi = 0 \) получаем \( 7x = 8\pi \), следовательно \( x = \frac{8\pi}{7} \).
5. Из \( 8x - 7\pi = 0 \) получаем \( 8x = 7\pi \), следовательно \( x = \frac{7\pi}{8} \).
6. Теперь проверим условие, что знаменатель не равен нулю: \( \sqrt{\sin x} \neq 0 \), что означает \( \sin x \neq 0 \).
7. Проверим \( x = \frac{8\pi}{7} \): \( \sin(\frac{8\pi}{7}) \neq 0 \).
8. Проверим \( x = \frac{7\pi}{8} \): \( \sin(\frac{7\pi}{8}) \neq 0 \).
9. Также должно выполняться условие, что под корнем неотрицательное число: \( \sin x \ge 0 \).
10. Для \( x = \frac{8\pi}{7} \): \( \sin(\frac{8\pi}{7}) < 0 \) (так как \( \frac{8\pi}{7} \) находится в третьем квадранте), поэтому этот корень не подходит.
11. Для \( x = \frac{7\pi}{8} \): \( \sin(\frac{7\pi}{8}) > 0 \) (так как \( \frac{7\pi}{8} \) находится во втором квадранте), поэтому этот корень подходит.

Ответ: \( x = \frac{7\pi}{8} \).