14.6) 9 sin 2x=2 sin x.

Решение:

1. Используем формулу синуса двойного угла: \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \).
2. Подставляем в уравнение: \( 9(2\sin x \cos x) = 2\sin x \).
3. Упрощаем: \( 18\sin x \cos x = 2\sin x \).
4. Переносим все члены в одну сторону: \( 18\sin x \cos x - 2\sin x = 0 \).
5. Выносим общий множитель \( 2\sin x \): \( 2\sin x (9\cos x - 1) = 0 \).
6. Приравниваем каждый множитель к нулю: \( 2\sin x = 0 \) или \( 9\cos x - 1 = 0 \).
7. Из \( 2\sin x = 0 \) следует \( \sin x = 0 \), откуда \( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
8. Из \( 9\cos x - 1 = 0 \) следует \( \cos x = \frac{1}{9} \).
9. Общее решение для \( \cos x = \frac{1}{9} \): \( x = \pm \arccos(\frac{1}{9}) + 2\pi m \), где \( m \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pi n \) и \( x = \pm \arccos(\frac{1}{9}) + 2\pi m \), где \( n, m \in \mathbb{Z} \).