6. 36 карандашей разложили поровну в несколько коробок. Если бы коробок было на 2 меньше, то в каждую пришлось бы положить на 3 карандаша больше. Сколько было коробок и сколько карандашей в каждой коробке?

Решение:

Пусть $$x$$ — количество коробок.

Пусть $$y$$ — количество карандашей в каждой коробке.

Всего карандашей: $$xy = 36$$.

Если бы коробок было на 2 меньше ($$x-2$$), то в каждую пришлось бы положить на 3 карандаша больше ($$y+3$$).

Новое уравнение: $$(x-2)(y+3) = 36$$.

Раскроем второе уравнение:

\[ xy + 3x - 2y - 6 = 36 \]

Подставим $$xy = 36$$:

\[ 36 + 3x - 2y - 6 = 36 \]

\[ 3x - 2y - 6 = 0 \]

\[ 3x - 2y = 6 \]

Из первого уравнения выразим $$y$$: $$y = \frac{36}{x}$$.

Подставим во второе уравнение:

\[ 3x - 2\left(\frac{36}{x}\right) = 6 \]

\[ 3x - \frac{72}{x} = 6 \]

Умножим на $$x$$:

\[ 3x^2 - 72 = 6x \]

\[ 3x^2 - 6x - 72 = 0 \]

Разделим на 3:

\[ x^2 - 2x - 24 = 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения (например, по теореме Виета или через дискриминант):

Сумма корней = 2, произведение корней = -24.

Корни: $$x_1 = 6$$, $$x_2 = -4$$.

Так как количество коробок не может быть отрицательным, $$x = 6$$.

Найдем количество карандашей в каждой коробке:

$$y = \frac{36}{x} = \frac{36}{6} = 6$$.

Проверка:

Первоначальный вариант: 6 коробок по 6 карандашей (всего 36).

Второй вариант: $$6-2 = 4$$ коробки, $$6+3 = 9$$ карандашей в каждой. $$4 \times 9 = 36$$. Условие выполняется.

Ответ: Было 6 коробок, в каждой по 6 карандашей.