4. Составить уравнение для решения заданий: а) Мастер за несколько часов изготовил 81 деталь. Если бы он изготавливал в час на 2 детали больше, то ему для этой работы потребовалось бы на час меньше. С какой производительностью работал мастер? 5) Длина прямоугольника на 25см больше ширины, а площадь составляет 24 м². Каковы стороны прямоугольника?

Решение:

1. а)

   Пусть $$x$$ — производительность мастера (деталей в час).

   Время, затраченное на работу: $$\frac{81}{x}$$ часов.

   Если бы производительность была $$x+2$$ детали в час, то время работы было бы $$\frac{81}{x+2}$$ часов.

   Это время на час меньше, чем первоначальное:

   \[ \frac{81}{x} - \frac{81}{x+2} = 1 \]

   Умножим обе части на $$x(x+2)$$:

   \[ 81(x+2) - 81x = x(x+2) \]

   \[ 81x + 162 - 81x = x^2 + 2x \]

   \[ 162 = x^2 + 2x \]

   \[ x^2 + 2x - 162 = 0 \]

   Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-162) = 4 + 648 = 652$$.

   $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{652}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{163}}{2} = -1 \pm \sqrt{163}$$.

   Так как производительность не может быть отрицательной, $$x = -1 + \sqrt{163}$$.

   $$\( \sqrt{163} \) \approx 12.76$$.

   $$x \approx -1 + 12.76 = 11.76$$ деталей в час.

2. б)

   Пусть $$w$$ — ширина прямоугольника (в метрах).

   Длина прямоугольника: $$l = w + 0.25$$ м (так как 25 см = 0.25 м).

   Площадь прямоугольника: $$S = l \cdot w = 24$$ м$$^2$$.

   \[ (w + 0.25) \cdot w = 24 \]

   \[ w^2 + 0.25w = 24 \]

   \[ w^2 + 0.25w - 24 = 0 \]

   Умножим на 4, чтобы избавиться от десятичной дроби:

   \[ 4w^2 + w - 96 = 0 \]

   Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(4)(-96) = 1 + 1536 = 1537$$.

   $$w = \frac{-1 \pm \sqrt{1537}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 \pm \sqrt{1537}}{8}$$.

   Так как ширина не может быть отрицательной, $$w = \frac{-1 + \sqrt{1537}}{8}$$.

   $$\( \sqrt{1537} \) \approx 39.2$$.

   $$w \approx \frac{-1 + 39.2}{8} = \frac{38.2}{8} = 4.775$$ м.

   Длина: $$l = w + 0.25 = 4.775 + 0.25 = 5.025$$ м.

   Проверка: $$4.775 \times 5.025 \approx 24$$.

Ответ: а) Производительность мастера приблизительно 11.76 деталей в час. б) Ширина приблизительно 4.775 м, длина приблизительно 5.025 м.