58. Докажите, что функции являются чётными: а) $f(x)=\frac{\cos 5x+1}{|x|}$; б) $f(x)=\frac{\sin^2 x}{x^2-1}$; в) $f(x)=\frac{2\sin\frac{x}{2}}{x^3}$; г) $f(x)=\frac{\cos x^3}{4-x^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 58. Докажите, что функции являются чётными: а) $f(x)=\frac{\cos 5x+1}{|x|}$; б) $f(x)=\frac{\sin^2 x}{x^2-1}$; в)…$ Фото задания

58. Докажите, что функции являются чётными: а) $f(x)=\frac{\cos 5x+1}{|x|}$; б) $f(x)=\frac{\sin^2 x}{x^2-1}$; в) $f(x)=\frac{2\sin\frac{x}{2}}{x^3}$; г) $f(x)=\frac{\cos x^3}{4-x^2}$.

Accepted Answer

Для каждой функции проверим, что область определения симметрична относительно нуля и $f(-x)=f(x)$.

а) Область определения: $x\ne0$, она симметрична. $f(-x)=\frac{\cos(-5x)+1}{|-x|}=\frac{\cos 5x+1}{|x|}=f(x)$.
б) Область определения: $x\ne\pm1$, она симметрична. $f(-x)=\frac{\sin^2(-x)}{(-x)^2-1}=\frac{(-\sin x)^2}{x^2-1}=f(x)$.
в) Область определения: $x\ne0$, она симметрична. $f(-x)=\frac{2\sin(-x/2)}{(-x)^3}=\frac{-2\sin(x/2)}{-x^3}=f(x)$.
г) Область определения: $x\ne\pm2$, она симметрична. $f(-x)=\frac{\cos((-x)^3)}{4-(-x)^2}=\frac{\cos(-x^3)}{4-x^2}=\frac{\cos x^3}{4-x^2}=f(x)$.

Ответ: все четыре функции чётные.

58. Докажите, что функции являются чётными: а) \(f(x)=\frac{\cos 5x+1}{|x|}\); б) \(f(x)=\frac{\sin^2 x}{x^2-1}\); в) \(f(x)=\frac{2\sin\frac{x}{2}}{x^3}\); г) \(f(x)=\frac{\cos x^3}{4-x^2}\).

Ответ: