57. Докажите, что функции являются чётными: а) $f(x)=3x^2+x^4$; б) $f(x)=x^5\sin\frac{x}{2}$; в) $f(x)=x^2\cos x$; г) $f(x)=4x^6-x^2$; д) $f(x)=\frac{\cos 5x+1}{[знаменатель обрезан]}$; е) $f(x)=\frac{\sin^2 x}{x^2-1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 57. Докажите, что функции являются чётными: а) $f(x)=3x^2+x^4$; б) $f(x)=x^5\sin\frac{x}{2}$; в) $f(x)=x^2\cos x$; г)…$ Фото задания

57. Докажите, что функции являются чётными: а) $f(x)=3x^2+x^4$; б) $f(x)=x^5\sin\frac{x}{2}$; в) $f(x)=x^2\cos x$; г) $f(x)=4x^6-x^2$; д) $f(x)=\frac{\cos 5x+1}{[знаменатель обрезан]}$; е) $f(x)=\frac{\sin^2 x}{x^2-1}$.

Accepted Answer

Функция чётная, если для каждого допустимого значения аргумента выполняется равенство $f(-x)=f(x)$.

а) $f(-x)=3(-x)^2+(-x)^4=3x^2+x^4=f(x)$. Функция чётная.
б) $f(-x)=(-x)^5\sin\left(-\frac{x}{2}\right)=(-x^5)\left(-\sin\frac{x}{2}\right)=x^5\sin\frac{x}{2}=f(x)$. Функция чётная.
в) $f(-x)=(-x)^2\cos(-x)=x^2\cos x=f(x)$, так как косинус — чётная функция. Функция чётная.
г) $f(-x)=4(-x)^6-(-x)^2=4x^6-x^2=f(x)$. Функция чётная.
д) Знаменатель обрезан на фотографии, поэтому проверить чётность этой функции по имеющимся данным нельзя. Пришлите изображение с формулой целиком.
е) $f(-x)=\frac{\sin^2(-x)}{(-x)^2-1}=\frac{\sin^2 x}{x^2-1}=f(x)$. Область определения исключает $x=\pm1$ и симметрична относительно нуля. Функция чётная.

Ответ: а), б), в), г) и е) — чётные; для проверки пункта д) нужен знаменатель.

57. Докажите, что функции являются чётными: а) \(f(x)=3x^2+x^4\); б) \(f(x)=x^5\sin\frac{x}{2}\); в) \(f(x)=x^2\cos x\); г) \(f(x)=4x^6-x^2\); д) \(f(x)=\frac{\cos 5x+1}{[знаменатель обрезан]}\); е) \(f(x)=\frac{\sin^2 x}{x^2-1}\).

Ответ: