51(А). В трёхзначном числе \(\overline{abc}\), цифры которого различны, выполняется соотношение \(\overline{ab}=a+b+c\). Найти наименьшее трёхзначное число.

По условию \(10a+b=a+b+c\), откуда \(9a=c\).

Так как \(a\) — первая цифра трёхзначного числа, \(a\ge1\), а \(c\) — цифра, значит возможно только \(a=1\) и \(c=9\).

Цифры различны, поэтому наименьшую возможную цифру для разряда десятков берём \(b=0\). Получаем число 109; проверка: \(\overline{ab}=10\), а \(a+b+c=1+0+9=10\).

Ответ: 109.