56. Цена билета в театр составляла 400 руб. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на 25%, а выручка выросла на 12,5%. Сколько стал стоить билет после снижения цены?

Решение:

Пусть \( C_1 \) — первоначальная цена билета, \( N_1 \) — первоначальное число зрителей, \( V_1 \) — первоначальная выручка.

По условию, \( C_1 = 400 \) руб.

После снижения цены билета, новая цена \( C_2 \), число зрителей \( N_2 \), а выручка \( V_2 \).

Число зрителей увеличилось на 25%: \( N_2 = N_1 + 0.25 N_1 = 1.25 N_1 \).

Выручка выросла на 12,5%: \( V_2 = V_1 + 0.125 V_1 = 1.125 V_1 \).

Мы знаем, что выручка — это произведение цены билета на число зрителей: \( V = C × N \).

Следовательно, \( V_1 = C_1 × N_1 \) и \( V_2 = C_2 × N_2 \).

Подставим известные соотношения:

\( 1.125 V_1 = C_2 × (1.25 N_1) \)

Заменим \( V_1 \) на \( C_1 × N_1 \):

\( 1.125 × (C_1 × N_1) = C_2 × 1.25 × N_1 \)

Разделим обе части уравнения на \( N_1 \) (предполагая, что \( N_1 \text{ } \neq 0 \)):

\( 1.125 × C_1 = C_2 × 1.25 \)

Теперь выразим \( C_2 \):

\[ C_2 = \frac{1.125 × C_1}{1.25} \]

Подставим значение \( C_1 = 400 \) руб.:

\[ C_2 = \frac{1.125 × 400}{1.25} = \frac{450}{1.25} \]

Выполним деление:

\[ C_2 = 360 \] руб.

Ответ: 360 руб.