5. Высота AH и медиана AM треугольника ABC делят угол BAC треугольника ABC на три равные части, причём точка H лежит между точками B и M. Из точки M опущен перпендикуляр MK на сторону AC. 1) Докажите, что MK = BH. 2) Найдите углы ΔMBC.

Пусть каждая из трёх частей угла \(BAC\) равна \(x\). Так как лучи расположены в порядке \(AB, AH, AM, AC\), то

\(\angle BAH=x\), \(\angle HAM=x\), \(\angle MAC=x\).

Так как \(AH\perp BC\), в прямоугольном треугольнике \(ABH\):

\(\angle ABH=90^\circ-x\). Следовательно, \(\angle ABC=90^\circ-x\).

Тогда

\(\angle ACB=180^\circ-3x-(90^\circ-x)=90^\circ-2x\).

Поскольку AM — медиана, \(BM=MC\). Из равенства площадей треугольников \(ABM\) и \(ACM\) получаем:

\[AB\sin 2x=AC\sin x.\]

По теореме синусов в треугольнике ABC:

\[\frac{AB}{AC}=\frac{\sin(90^\circ-2x)}{\sin(90^\circ-x)}=\frac{\cos 2x}{\cos x}.\]

С другой стороны, из равенства площадей:

\[\frac{AB}{AC}=\frac{\sin x}{\sin 2x}=\frac1{2\cos x}.\]

Следовательно,

\[\frac{\cos 2x}{\cos x}=\frac1{2\cos x},\qquad \cos 2x=\frac12.\]

Так как \(0^\circ<x<30^\circ\), получаем \(x=30^\circ\).

Значит, \(\angle BAC=90^\circ\), \(\angle ABC=60^\circ\), \(\angle ACB=30^\circ\).

1) Доказательство равенства \(MK=BH\).

В прямоугольном треугольнике ABC медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы, поэтому \(MA=MB=MC\). В треугольнике ABM угол \(BAM=60^\circ\), а \(AB=BM\), следовательно, треугольник ABM равносторонний. Поэтому \(AM=AB\).

Так как \(MK\perp AC\), а \(AB\perp AC\), то \(MK\parallel AB\). Точка M — середина BC, поэтому MK является средней линией треугольника ABC:

\[MK=\frac{AB}{2}.\]

В прямоугольном треугольнике ABH угол \(ABH=60^\circ\), поэтому

\[BH=AB\cos60^\circ=\frac{AB}{2}.\]

Следовательно, \(MK=BH\).

2) Углы треугольника MBC.

Так как M лежит на BC, \(\angle MBC=\angle ABC=60^\circ\). Поскольку \(BM=MC\), треугольник MBC равнобедренный, поэтому \(\angle MCB=60^\circ\). Тогда

\[\angle BMC=180^\circ-60^\circ-60^\circ=60^\circ.\]

Ответ: 1) \(MK=BH\); 2) \(\angle MBC=\angle MCB=\angle BMC=60^\circ\).