№5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = -x² − 1, y = 0, x = 1, x = 2.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = f(x) \), \( y = 0 \), \( x = a \), \( x = b \), вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \]

В данном случае \( f(x) = -x^2 - 1 \), \( a = 1 \), \( b = 2 \). Так как \( -x^2 - 1 < 0 \) для всех \( x \), то \( |-x^2 - 1| = -(-x^2 - 1) = x^2 + 1 \).

\[ S = \int_{1}^{2} (x^2 + 1) dx \]
\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{1}^{2} \]
\[ S = \left( \frac{2^3}{3} + 2 \right) - \left( \frac{1^3}{3} + 1 \right) \]
\[ S = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 \right) \]
\[ S = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} - \frac{1}{3} - \frac{3}{3} = \frac{8 + 6 - 1 - 3}{3} = \frac{10}{3} \]

Ответ: \(\frac{10}{3}\).