№4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x² + 4, y = 0, x = -1, x = 1.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = f(x) \), \( y = 0 \), \( x = a \), \( x = b \), вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \]

В данном случае \( f(x) = x^2 + 4 \), \( a = -1 \), \( b = 1 \). Так как \( x^2 + 4 > 0 \) для всех \( x \), то \( |x^2 + 4| = x^2 + 4 \).

\[ S = \int_{-1}^{1} (x^2 + 4) dx \]
\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} + 4x \right]_{-1}^{1} \]
\[ S = \left( \frac{1^3}{3} + 4(1) \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} + 4(-1) \right) \]
\[ S = \left( \frac{1}{3} + 4 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 4 \right) \]
\[ S = \frac{1}{3} + 4 + \frac{1}{3} + 4 = \frac{2}{3} + 8 = \frac{2 + 24}{3} = \frac{26}{3} \]

Ответ: \(\frac{26}{3}\).