5. Вычислите косинус угла между векторами а и б, если а (-12; 5), б (3; 4).

Решение:

Для вычисления косинуса угла между двумя векторами используем формулу:

\( \cdot \cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \cdot \cdot \cdot \vec{b}}{|\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot|} \)

Где \( \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \) — скалярное произведение векторов, а \( |\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot|} \) — произведение их длин.

1. Найдем скалярное произведение векторов \( \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \):

\( \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot = (-12) \cdot 3 + 5 \cdot 4 = -36 + 20 = -16 \).

2. Найдем длины векторов \( |\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot|} \) и \( |\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot|} \):

\( |\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot|} = \cdot \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = \cdot \sqrt{144 + 25} = \cdot \sqrt{169} = 13 \).

\( |\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot|} = \cdot \sqrt{3^2 + 4^2} = \cdot \sqrt{9 + 16} = \cdot \sqrt{25} = 5 \).

3. Вычислим косинус угла:

\( \cdot \cos(\alpha) = \frac{-16}{13 \cdot 5} = \frac{-16}{65} \).

Ответ: \( -\frac{16}{65} \).